08.- La Circunferencia

La circunferencia es una línea curva cerrada, cuyos puntos equidistan de otro punto llamado centro.

Los principales elementos de una circunferencia son:

• Centro: punto desde el que se sitúan a igual distancia todos los puntos de la circunferencia.

• Arco: porción de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos.

• Semicircunferencia: arco comprendido por media circunferencia.

• Radio: segmento situado entre el centro de la circunferencia y cualquier punto de esta.

• Diámetro: segmento delimitado por dos puntos de una circunferencia y que pasa por el centro. Su medida sería dos veces la del radio. El diámetro divide la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencias.
• Cuerda: Segmento que une dos puntos de una circunferencia. Divide a la circunferencia en dos arcos. La mayor cuerda de una circunferencia sería el diámetro.

 

El círculo es la porción del plano delimitada por una circunferencia.

Elementos del circulo:

• Semicírculo: sería la porción que delimita medio círculo. Un diámetro divide al círculo en dos semicírculos.
• Sector circular: es la porción del círculo delimitada por dos radios.

Posiciones relativas entre un punto y una circunferencia.

Según su posición, un punto puede estar respecto a una circunferencia:

• Interior: el punto está dentro de la circunferencia.
• En la circunferencia: el punto es uno de los puntos de la circunferencia.
• Exterior: el punto está fuera de la circunferencia.
  
  

Posiciones relativas entre una circunferencia y una recta.

Según su posición, una recta puede ser respecto a una circunferencia:

• Tangente: la recta tiene un único punto en común con la circunferencia y es perpendicular al radio que pasa por dicho punto.
• Secante: la recta corta a la circunferencia en dos puntos.
• Exterior: la recta no tiene punto en común con la circunferencia.

Posiciones relativas entre dos circunferencias.

Según la posición que ocupan dos circunferencias pueden ser:

• Interiores: Una circunferencia está dentro de la otra, sin tener punto en común y sin compartir centro.
• Concéntricas: Una circunferencia está dentro de la otra y comparten el mismo centro.

•  Tangentes interiores: las dos circunferencias sólo tienen un punto en común y una está dentro de la otra.

• Secantes: Las dos circunferencias se cortan en dos puntos.
• Tangentes exteriores: las dos circunferencias sólo tienen un punto en común y ninguna está dentro de la otra.

• Exteriores: las dos circunferencias no tienen punto en común.

OPERACIONES BÁSICAS CON CIRCUNFERENCIAS

1.-Trazar la circunferencia que pasa por tres puntos

2.- Dividir la circunferencia en "n" partes iguales

Ver los videos correspondientes al trazado de polígonos inscritos en una circunferencia del tema anterior. 

3.- Rectificación de una circunferencia

4.- Rectificación de una semicircunferencia

5.- Rectificación de un cuadrante de una circunferencia

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Ejercicios

07.- Formas polígonos regulares

Un polígono es una figura plana delimitada por una secuencia de segmentos consecutivos no alineados. Dichos segmentos se denominan lados.

ELEMENTOS DE UN POLÍGONO.

• Lado: son los segmentos que forman el polígono. También nombradas como aristas.
• Vértice: es el punto de corte entre dos lados.
• Diagonal: es el segmento que une dos lados no consecutivos.
• Perímetro: es el contorno de la superficie del polígono, la suma de las longitudes de todos sus lados

En polígonos regulares también distinguimos los siguientes elementos:

• Centro: Es un punto equidistante de todos los ángulos y lados.
• Apotema: Es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cualquiera de sus lados.
• Radio: Es el segmento que une el centro del polígono con cualquiera de sus vértices.
• Ángulo central: es el formado por dos radios que parten del centro a los dos extremos de un mismo lado.

CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS.

Según su forma:

• Simple: Cuando ninguno de sus lados no consecutivos se cortan.

• Convexo: es aquel polígono que tiene todos sus ángulos interiores menores que 180º. Se cumple que al ser atravesado por una recta siempre lo corta en un máximo de dos puntos.
• Cóncavo: es aquel polígono que tiene alguno o varios de sus ángulos interiores menores que 180º. Se cumple que al ser atravesado por una recta puede cortarlo en más de dos puntos.
   
• Complejo: Cuando dos de sus aristas no consecutivas se cortan.
  
   

Según sus condiciones de regularidad:

• Regular: son polígonos que tienen todos sus lados y ángulos iguales.
  Dentro de los regulares encontramos dos tipos:

• Convexos: Son polígonos simples convexos cuyos lados y ángulos son todos iguales.
• Estrellados:
   
• Semirregulares: Son aquellos que tienen todos sus lados o todos sus ángulos iguales, pero no ambos elementos. Distinguimos dos tipos:
• Equiángulo: Son polígonos que tienen todos sus ángulos iguales, pero no sus lados.
• Equilátero: Son polígonos que tienen todos sus lados iguales, pero no sus ángulos.
   
• Irregular: son aquellos polígonos que tienen lados y ángulos diferentes.

 

RELACIONES DEL POLÍGONO RESPECTO A LA CIRCUNFERENCIA.

Se contemplan dos tipos de relaciones:

• Inscrito: Se dice que un polígono esta inscrito en una circunferencia cuando todos los vértices del polígono son puntos de dicha circunferencia.
• Circunscrito: Se dice que un polígono está circunscrito a una circunferencia cuando todos los lados del polígono son tangentes a dicha circunferencia.
  
   

POLÍGONOS SEGÚN SU NÚMERO DE LADOS.

TRIÁNGULO	3 LADOS
CUADRILÁTEROS	4 LADOS
PENTÁGONO	5 LADOS
HEXÁGONO	6 LADOS
HEPTÁGONO	7 LADOS
OCTÓGONO u OCTÁGONO	8 LADOS
ENEÁGONO u NONÁGONO	9 LADOS
DECÁGONO	10 LADOS
ENDECÁGONO	11 LADOS
DODECÁGONO	12 LADOS

  
NOMINACIÓN

Los vértices y lados se nombrarán con letras a partir de la "a" y en sentido contrario al de las agujas del reloj. Los ángulos con letras en mayúscula y los lados con la letra del vértice opuesto, pero en minúscula.


ÁREAS

El área de un polígono es la superficie comprendida dentro de su perímetro.

En los polígonos regulares, el área es igual al producto del perímetro por la apotema dividido por dos.

En el caso de los polígonos irregulares será necesario recurrir a la triangulación del polígono para calcular su área. Es decir, dividiremos el polígono en triángulos, hallaremos el área de cada uno de ellos y lo sumaremos.

ANGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO

Figura	Lados	Suma de los ángulos interiores	Forma	Cada ángulo
Triángulo	3	180°		60°
Quadrilátero	4	360°		90°
Pentágono	5	540°		108°
Hexágono	6	720°		120°
...	...	..	...	...
Cualquier polígono	n	(n-2) × 180°		(n-2) × 180° / n

 

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS

1.- Método general. Trazado de polígonos inscritos en una circunferencia.
 
2.- Construcción de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia
 
3.- Construcción de un cuadrado inscrito en una circunferencia

4.- Construcción de un pentágono inscrito en una circunferencia

5.- Construcción de un hexágono inscrito en una circunferencia

6.- Construcción de un heptágono inscrito en una circunferencia

7.- Construcción de un octógono inscrito en una circunferencia

8.- Construcción de un eneágono inscrito en una circunferencia

9.- Construcción de un decágono inscrito en una circunferencia

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10.- Método general. Trazado de polígonos a partir del lado.

11.- Construcción de un triángulo equilátero conociendo el lado

12.- Construcción de un cuadrado conociendo el lado

13.- Construcción de un pentágono conociendo el lado.     Método 1          Método 2

14.- Construcción de un hexágono conociendo el lado

15.- Construcción de un heptágono conociendo el lado

16.- Construcción de un octógono conociendo el lado.      Método 1         Método 2

17.- Construcción de un eneágono conociendo el lado

18.- Construcción de un decágono conociendo el lado

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Ejercicios

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POLÍGONOS ESTRELLADOS
 

06.- Operaciones con cuadriláteros

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados y cuatro vértices.

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS:

Atendiendo al paralelismo de sus lados se pueden clasificar en dos grupos principales:

• Paralelogramos: son aquellos cuadriláteros que tienen todos los lados opuestos paralelos dos a dos.  Dentro de los paralelogramos podemos distinguir cuatro tipos de cuadriláteros.
   
• Cuadrado: es el cuadrilátero regular. Por lo tanto todos sus lados y ángulos son iguales. Dichos ángulos son rectos (90º). Sus dos diagonales son iguales y se cortan formando también ángulos rectos.
• Rectángulo: son cuadriláteros que tienen los lados opuestos iguales dos a dos y ángulos rectos (90º). Son diagonales también son iguales, pero al cortarse no forman ángulo de 90º.
• Rombo: es un cuadrilátero que tiene los cuatro lados iguales, pero sus ángulos (distintos a 90º) sólo son iguales al opuesto. Sus diagonales tienen medida distinta, pero si forman ángulo recto.
• Romboide: son cuadriláteros que tienen lados y ángulos que solamente son iguales a su opuesto. Sus diagonales no miden lo mismo y se cortan formando ángulos distintos a 90º.
   
• No paralelogramos: son todos aquellos cuadriláteros que no cumplen la condición de los paralelogramos.
  Dentro de esta categoría podemos distinguir dos grandes grupos.
   
• Trapecios: Son cuadriláteros que sólo tienen dos lados opuestos iguales.
  A su vez se pueden clasificar en tres tipos.
• Trapecios rectángulos: tienen dos ángulos rectos.
• Trapecios isósceles: sus lados no paralelos miden lo mismo y sus ángulos son iguales dos a dos.
• Trapecios escalenos: tienen todos los ángulos y lados desiguales.
• Trapezoides: Son cuadriláteros que no tienen ningún lado paralelo a otro.

CONSTRUCCION DE CUADRILATEROS 

CUADRADOS

1.- Construcción de un cuadrado conociendo el lado

2.-  Construcción de un cuadrado inscrito en una circunferencia


RECTÁNGULOS

3.- Construcción de un rectángulo conociendo sus lados

4.- Construcción de un rectángulo conociendo su lado AD y la diagonal AC


ROMBOS

5.- Construcción de un rombo conociendo la medida de los lados y la diagonal mayor

6.- Construcción de un rombo conociendo el ángulo A y la diagonal AC

7.- Construir un rombo conociendo un ángulo y la medida del lado

8.- Construir un rombo conociendo sus dos diagonales


ROMBOIDES

9.- Trazar un romboide comociendo las medidas de sus lados y un ángulo

10.- Trazar un romboide conociendo la medida de sus lados y la altura

11.- Trazar un romboide conociendo sus lados y una diagonal

12.- Trazar un romboide conociendo la medida de un lado y sus diagonales
 

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Ejercicios

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05.- Operaciones Básicas con triágulos

Un triángulo es un polígono de tres lados, y por lo tanto tres vértices. Se cumple que la suma de los ángulos de un triángulo es siempre 180º.

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS.

Basándonos en la medida de sus lados podemos clasificar los triángulos en tres tipos:

• Equiláteros: son triángulos que tienen todos sus lados iguales.
• Isósceles: son triángulos que tienen dos de sus lados iguales.
• Escalenos: son triángulos que tienen todos sus lados desiguales.
  
  

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS.

Según la amplitud de sus ángulos, podemos clasificar los triángulos de la siguiente manera:

• Rectángulos: son triángulos que tienen un ángulo recto (90º). El lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa y los otros dos son los catetos.
• Acutángulos: son triángulos que tienen los tres ángulos agudos (miden menos de 90º).
  
  
• Obtusángulos: son triángulos que tienen un ángulo obtuso (mayor de 90º).

 

CONSTRUCCION DE TRIANGULOS

1.- Construcción de un triángulo equilátero a partir del lado

2.- Construcción de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia

3.- Construcción de un triángulo conocidos sus tres lados

4.- Construcción de un triángulo conocido un lado "a" y sus ángulos adyacentes "B" y "C"

5.- Construcción de un triángulo conocidos dos lados "a" y "b" y el ángulo entre ellos "C"

6.- Construcción de un triángulo conociendo el lado "a", un ángulo adyacente "B" y el  lado opuesto "b".

7.- Construcción de un triángulo, conociendo el lado "a", la altura de "A" y el ángulo "B"

8.- Construcción de un triángulo conociendo el lado "a", la altura de "A" y el lado "b"

9.- Construcción de un triángulo, conociendo el lado "a", el ángulo opuesto "A" y el lado "b"

10.- Construcción de un triángulo, conociendo el lado "a", el ángulo opuesto "A" y la altura de "A"

11.- Construcción de un triángulo, conociendo el lado "a", un ángulo adyacente y el ángulo opuesto "A"

PUNTOS NOTABLES DEL TRIANGULO

1.- Ortocentro. (Alturas del triángulo)

El ortocentro sirve para determinar la naturaleza de un triangulo cuando no se conocen las medidas de sus lados:

• Si el ortocentro es un punto interior, entonces el triangulo es ACUTANGULO
• Si el ortocentro coincide con uno de los vertices, entonces el triangulo es RECTANGULO y el vértice es el angulo de 90º
• Si el ortocentro es un punto externo, entonces el triangulo es OBTUSANGULO

2.- Baricentro. (Medianas)

El Baricentro se utiliza para determinar el centro de gravedad del triángulo

3.- Incentro. (Bisectrices)

El Incentro se utiliza para determinar el centro de la circunferencia inscrita en un triángulo

4.- Circuncentro. (Mediatrices)

El Circuncentro se utiliza para determinar el centro de la circunferencia en la cual está inscrito un triángulo

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Ejercicios

04.- Operaciones Básicas con ángulos

Se define ángulo como la porción del plano delimitada por dos rectas que se cortan en un punto llamado vértice. Los lados de dicho ángulo serán las propias rectas.

Para medir la amplitud de los ángulos usaremos grados sexagesimales. 

Como herramienta para dichas mediciones emplearemos un transportador de ángulos. 

Podemos clasificar los ángulos según su medida:

• Agudo: cuando miden menos de 90º.

• Recto: cuando miden 90º.

• Obtuso: cuando miden más de 90º, pero menos de 180º.

• Llano: cuando miden 180º.

 

Relaciones entre ángulos según su medida:

• Iguales: diremos que dos ángulos son iguales cuando tengan el mismo número de grados, independientemente de su posición.

• Complementarios: cuando la suma de ambos ángulos sea 90º.

• Suplementarios: cuando sumen 180º.

 

OPERACIONES BÁSICAS CON ANGULOS

1.- Transportar un ángulo con el compás
2.- Suma de ángulos con la ayuda del compás
3.- Resta de ángulos con la ayuda del compás
4.- Bisectriz de un ángulo
5.- Bisectriz de un ángulo mixtilíneo
6.- Bisectriz de un ángulo curvilíneo
7.- Bisectriz de dos rectas concurrentes. (Método 1: Mediante paralelas)

8.- Bisectriz de dos rectas concurrentes. (Método 1: Mediante recta auxiliar)

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Prácticas

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